Chương 1: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

1. Phân loại biến cố

-        Phép thử: là thử làm một việc gì đó xem kết quả gì sẽ xảy ra

  =>  Kết quả:
                   - Biến cố chắc chắn (kí hiệu U hay ): P = 100%
                   - Biến cố không bao giờ xảy ra (kí hiệu V hay): P =0%
                   - Biến cố ngẫu nhiên (kí hiệu A, B,.. hay): 0

2. Xác suất

-        Định nghĩa cổ điển:  P(A) = m/n, trong đó:

m: số kết quả thuận lợi cho A
            n: tổng số các kết quả có thể xảy ra

+      Ví dụ 1: Lớp có 20 học sinh nữ, 10 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên một người, tính xác suất được nữ.
 G: - Xác suất  cần tìm là: P=C¹₂₀/C¹₃₀ =2/3
 Vậy xác suất được nữ là P= 2/3

+      Ví dụ 2: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Nếu lấy cùng lúc 3 sản phẩm, tính xác suất được 2 chính phẩm và 1 phế phẩm
 G: - xác suất cần tìm là: P=(C²₆.C¹₄/C³₁₀)=1/2
 Vậy xác suất được 2 chính phẩm và 1 phế phẩm là P=1/2

-        Định nghĩa thống kê:
 Tần suất: f(A) =k/n
 trong đó k: số phép thử trong đó biến cố xuất hiện
 n: tổng số phép thử được thực hiện
 Ví dụ: số liệu của 1000 công nhân công nghiệp thấy có 140 người có bệnh lao phổi. Tần suất là 0,14 và xác suất được coi là xấp xỉ 0,14

+      Nguyên lí thực tế chắc chắn xảy ra của các biến cố có xác suất lớn; biến cố có xác suất gần bằng 1 => có thể biến cố đó sẽ xảy ra trong phép thử

+      Nguyên lí thực tế không thể có của các biến cố có xác suất nhỏ: biến cố có xác suất rất nhỏ => có thể cho rằng, trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra

 3. Nguyên lý xác suất nhỏ và xác suất lớn

-        Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ (gần bằng 0) thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử, biến cố đó không xảy ra
 Ví dụ: Biển cố “Một chuyến bay gặp tai nạn” có xác suất xảy ra cực nhỏ, chỉ trong trường hợp hi hữu nên trong thực tế, có thể cho rằng biến cố đó không xảy ra

-        Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến có xác suất rất lớn (gần bằng 1) thì thực tế có thể cho rằng, trong một phép thử biến cố đó sẽ xảy ra
 Ví dụ: Biến cố “Một chuyến bay an toàn” có xác suất xảy ra cực kì lớn, cực kì hiếm khi xảy ra nên có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra

-        Trong thực tế, việc xem xét một mức xác suất được coi là rất nhỏ hoặc rất lớn sẽ tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể
 Ví dụ: Xác suất để một người lên nhầm xe bus là 0,05 có thể coi là rất nhỏ. Nhưng xác suất để người đó trúng Giải Jackpot là 0,05 có thể coi là rất lớn

4. Định lý xác suất nhân

-        Biến cố C là tích của 2 biến cố A và B có A và B cùng đồng thời xảy ra C = A.B

-        Xác suất có điều kiện:  P(A/B) (xác suất có điều kiện của A hoặc xác suất của A trong điều kiện B)
 Ví dụ: Hộp 6 chính phẩm 4 phế phẩm, lấy lần lượt 2 sản phẩm. A,B là lần 1,2 được chính phẩm. Xác định P(B/A) khi:

+      Lấy lần lượt có hoàn lại

+      Lấy lần lượt không hoàn lại

Giải:

+      Lấy lần lượt có hoàn lại ( các lần lấy độc lập nhau)

+      Lấy lần lượt không hoàn lại ( các lần lấy không độc lập nhau):

TH1: A xảy ra => còn lại 5 chính phẩm
           P(B/A) = 5/9
TH2: A không xảy ra => còn nguyên 6 chính phẩm
           P(B/A) = 6/9
 

+      Hai biến cố độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại

+      Hai biến cố không độc lập với nhau được gọi là phụ thuộc tức là việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này có làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại

+      Nếu A và B độc lập : P(A/B)=P(A):

P(A/B) = P(A)

P(B/A) = P(B)

+      Xác suất tích của hai biến cố

P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) => P(A/B) = P(A.B)/P(B)

+      Nếu A, B độc lập thì P(A.B)=P(A).P(B) 

=>P(A)=P(A.B)/P(B)

+      Hai biến cố xung khắc không đồng thời xảy ra trong một phép thử

Nếu A và B xung khắc: P(A.B)=0

-        Ví dụ 1: 2 công ty A và B cùng kinh doanh trên thị trường. Xác suất để A và B kinh doanh có lãi lần lượt là 0,8 và 0,7 và độc lập nhau. Tính xác suất để chỉ có đúng một công ty có lãi?
 Giải:
Gọi C là biến cố có đúng một công ty lãi

-         

5. Định lý cộng xác suất

Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B, nếu C chỉ xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra
 C = A+B
→ P(A+B)=P(A)+ P(B) - P(A.B)

-        Xác suất của tổng hai biến cố xung khắc: P(A+B) = P(A) + P(B)

-         

6. Công thức Bernoulli:   B(n,p)

-        Thực hiện n phép thử, trong mỗi phép thử xảy ra biến cố A hoặc A ngang xảy ra với xác suất tương ứng là p và 1-p

-         

-       

7. Công thức xác suất đầy đủ - công thức Bayes

P(A)  = P(H­₁)P(A/H₁) + P(H₂)P(A/H­₂) + P(H₃)P(A/H₃) +...

-        Công thức Bayes:P(H₁/A)= P(H₁).P(A/H₁)/P(A)

Ví dụ: Một công ty bảo hiểm chia khách hàng thành 3 loại: ít rủi ro (65%), rủi ro trung bình (25%), rủi ro cao (10%). Khả năng để khách hàng thuộc các loại trên gặp rủi ro trong một năm tương ứng là 4%, 10%, 18%. Gặp ngẫu nhiên 1 khách hàng, tính xác suất để khách hàng đó gặp rủi ro

Giải:

Gọi H₁, H₂, H₃ lần lượt là tỉ lệ khách hàng thuộc loại ít rủi ro, rủi ro trung bình, rủi ro cao. Dễ thấy H₁, H­₂, H­₃ lập thành 1 nhóm các biến cố đầy đủ

Gọi A là biến cố gặp ngẫu nhiên 1 khách hàng thì khách hàng đó gặp rủi ro

P(A)  = P(H­₁)P(A/H₁) + P(H₂)P(A/H­₂) + P(H₃)P(A/H₃)

           = 65% x 4% + 25% x 10% + 10% x 18% = 0,069

Chương 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 

1. Biến ngẫu nhiên

-        Biến số gọi là biến ngẫu nhiên nếu trong kết quả của phép thử nó sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên.

-        Có 2 loại biến ngẫu nhiên :
 + Biến rời rạc: X= { x1,x2,...,xn}
 Ví dụ: số người vào cửa hàng, siêu thị...
 + Biến liên tục: X=(a,b)

Ví dụ: Xe bus chạy với tần suất 15 phút/ chuyến, 1 người ra bến để đi xe. Gọi X là thời gian người đó chờ đợi xe bus đến → X= [0; 15]

Các giá trị có thể có của X lấp đầy đoạn [0; 15] nên suy ra X là biến ngẫu nhiên liên tục

2. Quy luật phân phối xác suất

-        Có 3 cách thể hiện thông thường của quy luật phân phối xác suất :

+      Bảng phân phối xác suất (chỉ cho BNN rời rạc):

3. Các tham số của biến ngẫu nhiên

Lưu ý: Đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị của biến ngẫu nhiên. Nếu biến ngẫu nhiên có đơn vị là (km) thì phương sai có đơn vị là (km)²

-        Độ lệch chuẩn của BNN X ký hiệu là

+      Ý nghĩa: cũng đo mức độ dao động, phân tán của X tương tự ý nghĩa phương sai

+      Đơn vị: cùng đơn vị với X

+      Phương sai, độ lệch chuẩn đo độ biến động tuyệt đối